指数とは n^m と書かれるときの m のことを指す。この時の n の事を底という。
n^m は \overbrace{n \times n \times \cdots \times n}^{m個} を意味している。
つまり n^m = \overbrace{n \times n \times \cdots \times n}^{m個} である。
写像で書くと次のようになる。
\begin{eqnarray*}
f : & \mathbb{N}\times\mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\
& (n,m) & \to & \overbrace{n \times n \times \cdots \times n}^{m個}
\end{eqnarray*}
この時の \mathbb{N}\times\mathbb{N} を \mathbb{C}\times\mathbb{N} に拡張すると次のようになる。
\begin{eqnarray*}
\mathbb{C}\times\mathbb{N} & \to & \mathbb{C} \\
(z,m) & \to & \overbrace{z \times z \times \cdots \times z}^{m個}
\end{eqnarray*}
z \times z \times \cdots \times z は \mathbb{C} 内の演算で定義できる。
\begin{eqnarray*}
f(n,m) = & n \times n \times \cdots \times n \\
= & n \times \overbrace{n \times \cdots \times n}^{m-1個} \\
= & n \times f(n,m-1)
\end{eqnarray*}
これを繰り返し用いると \displaystyle f(n,m) = \overbrace{n \times \cdots \times n}^{m-1個} \times f(n,1) と変形できる。
この変形を更に行い、写像 f の定義域を拡張していくと次のような変形が出来る。
\begin{eqnarray*}
f(n,m) = & n \times f(n,m-1) \\
= & n \times n \times f(n,m-2) \\
& \cdots \\
= & \overbrace{n \times \cdots \times n}^{m-1個} \times f(n,1) \\
= & \overbrace{n \times \cdots \times n}^{m個} \times f(n,0)
\end{eqnarray*}
写像 f の定義から f(n,m)=\overbrace{n \times n \times \cdots \times n}^{m個} である為、上の式から次の式が出来る。
\overbrace{n \times n \times \cdots \times n}^{m個} = \overbrace{n \times \cdots \times n}^{m個} \times f(n,0)
この式の両辺に \overbrace{n \times n \times \cdots \times n}^{m個} がある為、これが 0 で無いなら割って 1=f(n,0) が得られる。
\overbrace{n \times n \times \cdots \times n}^{m個} \ne 0 \quad
\Leftrightarrow \quad n \ne 0
である為、n \ne 0 の時 f(n,0)=1 である。
この理屈を指数がマイナスの時まで繰り返し行う。
\begin{eqnarray*}
f(n,m) = & \overbrace{n \times \cdots \times n}^{m個} \times f(n,0) \\
= & \overbrace{n \times \cdots \times n}^{m+1個} \times f(n,-1) \\
= & \overbrace{n \times \cdots \times n}^{m+2個} \times f(n,-2) \\
& \cdots \\
= & \overbrace{n \times \cdots \times n}^{m+l個} \times f(n,-l)
\end{eqnarray*}
写像の定義から f(n,m)=\overbrace{n \times n \times \cdots \times n}^{m個} なので次の式が出来る。
\overbrace{n \times n \times \cdots \times n}^{m個} = \overbrace{n \times \cdots \times n}^{m+l個} \times f(n,-l)
さっきと同じ様に割り算を行うと n \ne 0 の時 \displaystyle f(n,-l)=\frac{1}{n^l}になる。
まとめると次のようになる。
n \ne 0 の時 n^0=1 、 \displaystyle n^{-m}=\frac{1}{n^m}